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Ejercicio 1 de la Opción A del Modelo 1 de 2008 Editar

Sean  f: \mathbb R \to \mathbb R y  g: \mathbb R \to \mathbb R las funciones definidas por f(x)=x^{2}+ax+b y g(x)=ce^{-(x+1)}


Se sabe que las gráficas de f y g se cortan en el punto (-1,2) y tienen en ese punto la misma recta tangente.

a) [2 puntos] Calcula los valores de a, b y c.

b) [0,5 puntos] Halla la ecuación de dicha recta tangente.



Solución apartado a)Editar

Como tenemos tres incógnitas, necesitamos tres ecuaciones. Sabemos que f y g se cortan en el punto (-1,2), es decir, el punto pertenece a las dos gráficas, luego se debe cumplir que  f(-1) = 2 y que  g(-1) = 2.


Por otra parte, ambas tienen en ese punto la misma recta tangente. Para ello deben pasar por el mismo punto (que ya se cumple) y además tener la misma pendiente en ese punto, luego  f'(-1) = g'(-1). Calculamos las derivadas y obtenemos:


f(x)=x^{2}+ax+b \Rightarrow f'(x)=2x+a
g(x)=ce^{-(x+1)} \Rightarrow g'(x)= -ce^{-(x+1)}


Resumiendo:


\left.\begin{matrix}
f(-1)=2\\ 
g(-1)=2\\ 
f'(-1)=g'(-1)
\end{matrix}\right\}\Rightarrow \left.\begin{matrix}
(-1)^{2}+a\cdot(-1)+b=2\\ 
ce^{-(-1+1)}=2\\ 
2\cdot(-1)+a=-ce^{-(-1+1)}
\end{matrix}\right\}\Rightarrow \left.\begin{matrix}
-a+b=1\\ 
c=2\\ 
-2+a=-c
\end{matrix}\right\}\Rightarrow \left.\begin{matrix}
b=1\\ 
c=2\\ 
a=0
\end{matrix}\right\}

Solución: a=0, b=1, c=2\Rightarrow f(x)=x^{2}+1,\; g(x)=2e^{-(x+1)}



Solución apartado b)Editar

08m1o1e1

Posición de las funciones y la tangente

La recta tangente a una curva viene dada por la fórmula y = f'(a)(x-a)+f(a). En nuestro caso queremos hallarla en -1.


\left.\begin{matrix}
f'(-1)=-2\\ 
f(-1)=2
\end{matrix}\right\}\Rightarrow y=-2(x+1)+2 \Rightarrow y=-2x


Solución: y = -2x

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