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Ejercicio 2 de la Opción A del modelo 1 de 2008 Editar

[2,5 puntos] Dadas las funciones f:[0,+\infty)\to \mathbb R y g:[0,+\infty)\to \mathbb R definidas por


f(x)=\sqrt{x} y g(x)=\sqrt[3]{x}


calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.



Solución:Editar

08m1o1e2

Área a calcular

Primero hemos de hallar los puntos de corte de ambas gráficas. Igualamos las funciones:


\sqrt{x}=\sqrt[3]{x}\;\xrightarrow[a\;la\;sexta]{elevando}\;x^{3}=x^{2}\to x^{3}-x^{2}=0\to x^{2}(x-1)=0 \to x=0,\; x=1


Calculamos la integral definida:


\int_{0}^{1}\left ( f(x)-g(x) \right )dx=\int_{0}^{1}\left ( \sqrt{x}-\sqrt[3]{x} \right )dx=\int_{0}^{1}\left ( x^{1/2}-x^{1/3} \right )dx=\left. \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^{4/3}}{\frac{4}{3}} \right ]_{0}^{1}=\left ( \frac{1}{\frac{3}{2}}-\frac{1}{\frac{4}{3}} \right )-\left ( 0-0 \right )=-\frac{1}{12}


Tomamos valor absoluto para que el área sea positiva, y por tanto vale \frac{1}{12}\;u^{2}


Solución: A=\frac{1}{12}\;u^{2}

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