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Ejercicio 1 de la Opción B del Modelo 1 de 2008 Editar

[2,5 puntos] Sea  f: \mathbb R \to \mathbb R la función definida por f(x)= ax^{3}+bx^{2}+cx+d. Se sabe que f tiene un máximo local en x=1, que el punto (0,1) es un punto de inflexión de su gráfica y que \int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{9}{4}. Calcula a, b, c y d.



Solución: Editar

08m1oBe1

Gráfica de la función

Tenemos cuatro incógnitas y por tanto necesitamos cuatro ecuaciones.
  • f tiene un máximo local en x=1:

Si tiene un máximo local, su derivada es cero.

f'(x)=3ax^{2}+2bx+c \Rightarrow f'(1)=3a+2b+c=0

Primera ecuación: 3a+2b+c=0


  • El punto (0,1) es un punto de inflexión:

De aquí obtenemos dos informaciones.

  1. f(0)=1 \Rightarrow f(0)=d=1
  2. Si tiene un punto de inflexión, su segunda derivada es cero.
f''(x)=6ax+2b \Rightarrow f''(0)=2b=0 \Rightarrow b=0


Segunda ecuación: d=1

Tercera ecuación: b=0


  • \int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{9}{4}

\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}\left ( ax^{3}+bx^{2}+cx+d \right )dx\overset{b=0,d=1}{=}\int_{0}^{1}\left ( ax^{3}+cx+1 \right )dx=\left. \frac{ax^{4}}{4}+\frac{cx^{2}}{2}+x \right ]_{0}^{1}=\frac{a}{4}+\frac{c}{2}+1=\frac{9}{4}\Rightarrow a+2c=5


Cuarta ecuación: a+2c=5


Si reunimos las cuatro ecuaciones:


\left.\begin{matrix}
3a+2b+c=0\\ 
d=1\\ 
b=0\\ 
a+2c=5
\end{matrix}\right\}\Rightarrow \left.\begin{matrix}
3a+c=0\\ 
a+2c=5\\ 
d=1\\ 
b=0
\end{matrix}\right\}\Rightarrow \left.\begin{matrix}
c=-3a\\ 
a-6a=5\\ 
d=1\\ 
b=0
\end{matrix}\right\}\Rightarrow \left.\begin{matrix}
c=3\\ 
a=-1\\ 
d=1\\ 
b=0
\end{matrix}\right\}


Solución: a=-1,\;b=0,\;c=3\;y\;d=1, luego f(x)=-x^{3}+3x+1

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