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Ejercicio 2 de la Opción B del Modelo 1 de 2008 Editar

Sea g:(0,+\infty) \to \mathbb R la función dada por g(x)=\ln x (ln denota logaritmo neperiano).

a) [0,75 puntos] Justifica que la recta de ecuación y=\frac{1}{e}\;x es la recta tangente a la gráfica de g en el punto de abscisa x = e .

b) [1,75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g, el eje de abscisas y la recta tangente del apartado anterior.



Solución apartado a) Editar

La recta tangente a una función viene dada por y = f'(a)(x-a)+f(a). En nuestro caso la calcularemos en el punto e.


\left.\begin{matrix}
g'(x)=\frac{1}{x}\to g'(e)=\frac{1}{e}\\ 
g(e)=\ln e=1
\end{matrix}\right\}\Rightarrow y=\frac{1}{e}(x-e)+1=\frac{1}{e}x-1+1=\frac{1}{e}\;x



Solución apartado b)Editar

Esta función es sencilla de dibujar. La recta tangente, por su fórmula, sabemos que pasa por los puntos (0,0) y (e,1), luego estamos en el siguiente caso:

08m1oBe2b

Área a calcular


A=\int_{0}^{e}\frac{1}{e}\;x\;dx-\int_{1}^{e}\ln x \;dx=\frac{1}{e}\int_{0}^{e}x\;dx-\int_{1}^{e}\ln x\;dx


Lo calculamos por separado:

  • \frac{1}{e}\int_{0}^{e}x\;dx=\left. \frac{1}{e}\cdot \frac{x^{2}}{2} \right ]_{0}^{e}=\frac{1}{e}\cdot \frac{e^{2}}{2}-0=\frac{e}{2}


  • \int_{1}^{e}\ln x\;dx lo calculamos por partes:


\int_{1}^{e}\ln x\;dx=\begin{bmatrix}
u=\ln x & dv=dx\\ 
du=\frac{1}{x}dx & v=x
\end{bmatrix}=\left. x\cdot\ln x \right ]_{1}^{e}-\int_{1}^{e}x\cdot \frac{1}{x}dx=\left ( e-0 \right )-\left. x \right ]_{1}^{e}=e-(e-1)=1


Resumiendo, A=\left (\frac{e}{2}-1  \right )\;u^{2}

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