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Ejercicio 1 de la Opción A del Modelo 2 de 2008 (EXAMEN DE SEPTIEMBRE)

Sea f:\mathbb R\to \mathbb R la función definida por:


f(x)=\left\{\begin{matrix}
ax^2+3x & si & x\leq 2\\ 
x^2-bx-4 & si & x>2
\end{matrix}\right.


a) [1,5 puntos] Halla a y b sabiendo que f es derivable en \mathbb R

b) [1 punto] Determina la recta tangente y la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x=3



Solución apartado a)

08m2oAe1a

Gráfica de la función

Si f es derivable en \mathbb R, sabemos que en particular lo será en x=2. Esto quiere decir que la función es continua en x=2 y que su derivada también lo es.


  • f es continua en x=2:

Para que sea continua, los límites laterales deben coincidir.


\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim_{x\to 2^{+}}f(x)



\left.\begin{matrix}
\lim_{x\to 2^{-}}f(x)= & \lim_{x\to 2^{-}}\left ( ax^2+3x \right )= &4a+6 \\ 
\lim_{x\to 2^{+}}f(x)= & \lim_{x\to 2^{+}}\left ( x^2-bx-4 \right )= & -2b
\end{matrix}\right\}\Rightarrow 4a+6=-2b


  • f' es continua en x=2:

Primero hallamos la derivada de f,


f'(x)=\left\{\begin{matrix}
2ax+3 & si & x< 2\\ 
2x-b & si & x>2
\end{matrix}\right.


Igual que antes, la derivada debe ser continua en x=2, por lo que los límites laterales deben coincidir.


\left.\begin{matrix}
\lim_{x\to 2^{-}}f'(x)= & \lim_{x\to 2^{-}}\left ( 2ax+3 \right )= &4a+3 \\ 
\lim_{x\to 2^{+}}f'(x)= & \lim_{x\to 2^{+}}\left ( 2x-b \right )= & 4-b
\end{matrix}\right\}\Rightarrow 4a+3=4-b


Si resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones que hemos obtenido,


\left.\begin{matrix}
4a+6=-2b\\ 
4a+3=4-b
\end{matrix}\right\}\Rightarrow 
\left.\begin{matrix}
4a+2b=-6\\ 
4a+b=1
\end{matrix}\right\}\xrightarrow[reducci\acute{o}n]{M\acute{e}todo}\left.\begin{matrix}
a=2\\ 
b=-7
\end{matrix}\right\}


Solución: a=2 y b=-7



Solución apartado b)

08m2oAe1b

Rectas tangente y normal

Las rectas tangente y normal, pasan por el mismo punto y tienen pendientes perpendiculares, por lo que si no recordamos la ecuación de la normal, es fácil averiguarla.
Ecuación tangente: y=f'(x_{0})\left ( x-x_{0} \right )+f(x_{0})
Ecuación normal: y=\frac{-1}{f'(x_{0})}\left ( x-x_{0} \right )+f(x_{0})


En nuestro caso x_{0}=3, por lo que nos centraremos en la segunda rama de la ecuación. Sólo tenemos que calcular f(3), f'(3) y sustituir en las ecuaciones anteriores.


\left.\begin{matrix}
f(3)=3^2-(-7)\cdot 3-4=26\\ 
f'(3)=2\cdot 3-(-7)=13
\end{matrix}\right\}


Recta tangente: y=13\left ( x-3 \right )+26\; \Rightarrow \; y=13x-13


Recta normal: y=\frac{-1}{13}\left ( x-3 \right )+26\; \Rightarrow \; y=\frac{-1}{13}x+\frac{341}{13}

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