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Ejercicio 2 de la Opción A del Modelo 2 de 2008 (EXAMEN DE SEPTIEMBRE) Editar

Dada la función g:\mathbb R \to \mathbb R, definida por g(x)=2x+\left | x^2-1 \right |

a) [1 punto] Esboza la gráfica de g

b) [1,5 puntos] Calcula \int_{0}^{2}g(x)dx

Solución apartado a) Editar

Vamos a escribir la función g como una función a trozos. Sabemos que la función cambia donde la parte que está en el valor absoluto cambia de signo. Por tanto empezamos estudiando el signo de x^2-1.


x^2-1=0 \to x^2=1 \to x=\pm 1

08m2oAe2a1

Por tanto, la parte del valor absoluto queda:

\left | x^2-1 \right |=\left\{\begin{matrix}
x^{2}-1 & si & x< 1\\ 
-\left ( x^{2}-1 \right ) & si & -1 \le x \le 1\\ 
x^{2}-1 & si & x> 1
\end{matrix}\right.


Nuestra función será:

g(x)=2x+\left | x^2-1 \right |=\left\{\begin{matrix}
x^{2}+2x-1 & si & x< 1\\ 
-x^{2}+2x-1 & si & -1\le x\le 1\\ 
x^{2}+2x-1 & si & x> 1
\end{matrix}\right.

Son tres trozos de parábola, y además el primero y el tercero son de la misma.

  • Primer y tercer trozos:

- Es continua y derivable.

- Es una parábola abierta hacia arriba y con vértice en  x = -b/2a = -1.

- Tabla de valores:

xf(x)
-32
-2-1
-1-2
12
27
314


  • Segundo trozo:

- Es continua y derivable.

- Es una parábola abierta hacia abajo y con vértice en  x = -b/2a = 2 (fuera del trozo)

- Tabla de valores:

xf(x)
-1-2
01
12


08m2oAe2a2



Solución apartado b) Editar

08m2oAe2b

Superficie

Usando la función a trozos que hemos obtenido en el apartado anterior, tenemos que separar la integral en dos partes:


\int_{0}^{2}g(x)dx=\int_{0}^{1}\left ( -x^{2}+2x+1 \right )dx+\int_{1}^{2}\left ( x^{2}+2x-1 \right )dx= = \left [ \frac{-x^{3}}{3}+x^{2}+x \right ]_{0}^{1}+\left [ \frac{x^{3}}{3}+x^{2}-x \right ]_{1}^{2}=\left ( \frac{-1}{3}+1+1 \right )-0+\left ( \frac{8}{3}+4-2 \right )-\left ( \frac{1}{3}+1-1 \right ) = 6\; u^{2}

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