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Ejercicio 1 de la Opción B del Modelo 2 de 2008 (EXAMEN DE SEPTIEMBRE) Editar

[2,5 puntos] De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (1,2), encuentra aquélla que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Halla el área de dicho triángulo.


Solución: Editar

Para resolver un problema de optimización, hemos de conseguir una función que nos defina aquello que queremos optimizar, dependiendo únicamente de una incógnita. En nuestro caso, la función definirá la superficie que forman las rectas que pasan por el punto (1,2).

Para trabajar con el menor número de incógnitas, en este caso es recomendable usar la ecuación explícita (y=mx+n) o la punto-pendiente, que es la que usaremos en esta resolución.

Ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto P=(x_{0},y_{0}) y tiene pendiente m: y-y_{0}=m\left ( x-x_{0} \right ).

En nuestro caso, P=(1,2), luego cualquier recta que pase por ese punto tendrá como ecuación y-2=m(x-1), o despejando, y=mx+2-m.

08m2oBe1

Como queremos minimizar el área, ésa es la función que debemos hallar, para cualquier recta que pase por P. Como se ve en el gráfico, la base y la altura del triángulo las determinan los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas.


  • Base: Punto de corte con el eje OX.

y=0 \Rightarrow 0=mx+2-m \Rightarrow x=\frac{m-2}{m}.


  • Altura: Punto de corte con el eje OY.

x=0\; \Rightarrow \; y=2-m.


  • Área:

A(m)=\frac{b\cdot a}{2}=\frac{\frac{m-2}{m}\cdot \left ( 2-m \right )}{2}=\frac{\left ( m-2 \right )\left ( 2-m \right )}{2m}=\frac{-m^{2}+4m-4}{2m}


Para obtener el mínimo, derivamos e igualamos a cero:


A'(m)=\frac{\left ( -2m+4 \right )\cdot 2m-2\cdot \left ( -m^{2}+4m-4 \right )}{\left (2m  \right )^{2}}=\frac{-2m^{2}+8}{4m^{2}}


A'(m)=0\; \Rightarrow \; \frac{-2m^{2}+8}{4m^{2}}=0\; \Rightarrow \; -2m^{2}+8=0\; \Rightarrow \; m=\pm 2


Comprobamos si es máximo o mínimo con el signo de la segunda derivada:


A''(x)=\frac{-4m\cdot 4m^{2}-8m\cdot \left ( -2m^{2}+8 \right )}{\left ( 4m^{2} \right )^{2}}


A''(-2)=\frac{8\cdot 16+16\cdot 0}{\left ( 4\cdot 4 \right )^{2}}> 0


Como la segunda derivada es positiva, en m=-2 se alcanza un mínimo y por tanto la recta es y=-2x+4


El otro valor no es válido, pues una recta que pase por P con pendiente positiva no corta a los semiejes positivos como nos pide el enunciado.


Para hallar el área, calculamos A(-2)=\frac{-4-8-4}{-4}=4\; u^{2}


Solución: La recta es y=-2x+4 y el área 4\; u^{2}

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