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Ejercicio 1 de la Opción A del Modelo 3 de 2008 (EXAMEN DE JUNIO) Editar

[2,5 PUNTOS] Sea f la función definida, para x\neq 0 por f(x)=x \cdot e^ \frac{1}{x}. Determina las asíntotas de la gráfica de f.



Solución: Editar

  • Asíntotas Verticales: \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\pm \infty

f es una función compuesta por otras funciones. Sabemos que \frac{1}{x} tiene una A.V. en x=0. Veamos si también es asíntota para nuestra función. Para ello calculamos los límites laterales.


\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}} x \cdot e^{\frac {1}{x}}=0\cdot e^{-\infty }=0\cdot 0=0, luego por este lado no hay asíntota.


No se pudo entender (error léxico): \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}} x \cdot e^{\frac {1}{x}}=0\cdot e^{+\infty }=\left [0\cdot \infty \: IND \right ] =(*)


Para resolver esta indeterminación tenemos que usar la Regla de L'Hôpital, transformándola previamente en una indeterminación del tipo \frac{\infty}{\infty}.


No se pudo entender (error léxico): (*)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}=\left [\frac{\infty}{\infty } \: IND \right ] =(**)


Podemos usar la Regla de L'Hôpital porque tanto el numerador como el denominador son funciones continuas y derivables en un entorno de x=0. Esta regla me dice que puedo calcular el límite derivando por separado numerador y denominador:

No se pudo entender (error léxico): g(x)=e^{\frac{1}{x}}\: \Rightarrow \: g'(x)=\frac{-1}{x^{2}}\cdot e^{\frac{1}{x}}


No se pudo entender (error léxico): h(x)=\frac{1}{x}\: \Rightarrow \: h'(x)=\frac{-1}{x^{2}}


Luego,


(**)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\frac{-1}{x^2}\cdot e^{\frac{1}{x}}}{\frac{-1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}e^{\frac{1}{x}}=e^{+\infty }=+\infty . Por tanto existe una A.V. en x=0.


  • Asíntotas Horizontales: \lim_{x\rightarrow \pm \infty }f(x)=k


\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow + \infty }x\cdot e^{\frac{1}{x}}=+\infty \cdot e^{0}=+\infty . Luego NO hay A.H. en +\infty.


\lim_{x\rightarrow - \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow - \infty }x\cdot e^{\frac{1}{x}}=-\infty \cdot e^{0}=-\infty . Luego NO hay A.H. en -\infty.


  • Asíntotas Oblicuas: Recta y=mx+n donde m=\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{f(x)}{x} y n=\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\left ( f(x)-mx \right ).


Caso +\infty:

m=\lim_{x\rightarrow + \infty }\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow + \infty }\frac{x\cdot e^{\frac{1}{x}}}{x}=\lim_{x\rightarrow + \infty }e^{\frac{1}{x}}=e^{0}=1


No se pudo entender (error léxico): n=\lim_{x\to +\infty }\left ( f(x)-mx \right )=\lim_{x\to +\infty }\left ( x\cdot e^{\frac{1}{x}}-x \right )=\lim_{x\to +\infty }x\cdot\left ( e^{\frac{1}{x}}-1 \right ) =\left [ \infty \cdot 0\: IND \right ]=(*)


Al igual que antes, hemos de transformar la indeterminación para utilizar la Regla de L'Hôpital.


No se pudo entender (error léxico): (*)= \lim_{x \to + \infty } \frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}= \left [ \frac{0}{0}\: IND\to L'H \right ]=\lim_{x\to +\infty } \frac{\frac{-1}{x^2}\cdot e^{\frac{1}{x}}}{\frac{-1}{x^2}}=\lim_{x\to +\infty } e^{\frac{1}{x}}=e^{0}=1


Por tanto m=1 y n=1. Es decir, la recta y=x+1 es una A.O. en +\infty.


En -\infty el caso es el mismo, pues en el desarrollo de los límites sólo hemos usado que \lim_{x\to +\infty }\frac{1}{x}=0, y es análogo para -\infty.


08m3oAe1

Gráfica y Asíntotas

Solución:
  • A.V. en x=0.
  • No hay A.H.
  • La recta y=x+1 es A.O. en +\infty y -\infty.

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