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Ejercicio 2 de la Opción A del Modelo 3 de 2008 (EXAMEN DE JUNIO) Editar

[2,5 puntos] Calcula \int_{-2}^{-1}\frac{dx}{\left ( x^{2}-x \right )\left ( x-1 \right )}.



Solución: Editar

Es una integral de una función racional con varias raíces en el denominador, por lo que primero descomponemos la fracción del siguiente modo:


No se pudo entender (error léxico): \frac {1} {\left ( x^{2}-x \right ) \left ( x-1 \right ) } = \frac{1}{x \left( x-1 \right ) \left ( x-1 \right )} = \frac{1}{x \left ( x-1 \right )^2}= \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{\left ( x-1 \right )^2}= \frac{A\left ( x-1 \right )^2+Bx\left ( x-1 \right )+Cx}{x\left ( x-1 \right )^2}=\: \Rightarrow \:


No se pudo entender (error léxico): \Rightarrow \: 1=A\left ( x-1 \right )^2+Bx\left ( x-1 \right )+Cx


Damos valores para averiguar los coeficientes A, B y C:


Si No se pudo entender (error léxico): x=0\: \Rightarrow \: 1=A


Si No se pudo entender (error léxico): x=1\: \Rightarrow \: 1=C


Si No se pudo entender (error léxico): x=2\: \Rightarrow \: 1=A+2B+2C\: \Rightarrow \:1=1+2B+2\: \Rightarrow \:B=-1


Calculamos las integrales por separado:


\int_{-2}^{-1}\frac{A}{x}dx=\int_{-2}^{-1}\frac{1}{x}dx=\left [ ln \left | x \right | \right ]_{-2}^{-1}=ln1-ln2=-ln2


\int_{-2}^{-1}\frac{B}{x-1}dx=\int_{-2}^{-1}\frac{-1}{x-1}dx=\left [ -ln\left | x-1 \right | \right ]_{-2}^{-1}=-ln2+ln3


\int_{-2}^{-1}\frac{C}{\left (x-1  \right )^2}dx=\int_{-2}^{-1}\frac{1}{\left (x-1  \right )^2}dx=\left [ -\frac{1}{x-1} \right ]_{-2}^{-1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}


Resumiendo,


\int_{-2}^{-1}\frac{dx}{\left ( x^{2}-x \right )\left ( x-1 \right )}=\int_{-2}^{-1}\frac{1}{x}dx+\int_{-2}^{-1}\frac{-1}{x-1}dx+\int_{-2}^{-1}\frac{1}{\left (x-1  \right )^2}dx=-ln2-ln2+ln3+\frac{1}{6}=ln3-2ln2+\frac{1}{6}

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