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Ejercicio 1 de la Opción B del Modelo 3 de 2008 (EXAMEN DE JUNIO) Editar

[2,5 puntos] De entre todos los rectángulos de perímetro 8cm, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.



Solución: Editar

Es un problema de optimización en el que tenemos que minimizar la diagonal. Por tanto hemos de buscar una función que determine la diagonal en función de la medida de los lados.

08m3oBe1a

* Condición:

El perímetro mide 8cm, luego:

No se pudo entender (error léxico): 2x+2y=8\: \Rightarrow \: x+y=4\: \Rightarrow \: y=4-x



*Función:

La diagonal la podemos determinar por el teorema de Pitágoras:

No se pudo entender (error léxico): d^2=x^2+y^2\: \Rightarrow \: d=\sqrt{x^2+y^2}


Utilizando la condición que hemos obtenido antes, nos queda la siguiente función:

d(x)=\sqrt{x^2+\left ( 4-x \right )^2}=\sqrt{x^2+16+x^2-8x}=\sqrt{2x^2-8x+16}


El valor que minimice la diagonal debe verificar que No se pudo entender (error léxico): d\:'(x_{0})=0

y No se pudo entender (error léxico): d\:''(x_{0})>0

.

No se pudo entender (error léxico): d\: '(x)=\frac{4x-8}{2\sqrt{2x^2-8x+16}}=\frac{2x-4}{\sqrt{2x^2-8x+16}}=0\: \Rightarrow \: 2x-4=0\: \Rightarrow \:x=2


x=2 es un posible máximo o mínimo. Lo comprobamos con la segunda derivada:


No se pudo entender (error léxico): d\: ''(x)=\frac{2\cdot \sqrt{2x^2-8x+16}-\left ( 2x-4 \right )\cdot \frac{2x-4}{\sqrt{2x^2-8x+16}} }{2x^2-8x+16}=0\: \Rightarrow \: d\: ''(2)=\frac{2\cdot \sqrt{8}-0 }{8}>0


Por tanto x=2 es un mínimo y las dimensiones del rectángulo (que en este caso es un cuadrado) son x=2, y=2.

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