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Ejercicio 2 de la Opción B del Modelo 3 de 2008 (EXAMEN DE JUNIO) Editar

Sea f: \mathbb R \to \mathbb R la función definida por f(x)=e^{-2x}.


a) [1 punto] Justifica que la recta de ecuación y=-2ex es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=-1/2.


b) [1,5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de ordenadas y la recta tangente del apartado anterior.



Solución apartado a) Editar

Vamos a hallar la recta tangente a f en x=-1/2 y veremos que coincide con la del problema.

La recta tangente viene dada por: y=f'\left (x_{0}  \right )\left (x-x_{0}  \right )+f\left (x_{0}  \right )


No se pudo entender (error léxico): f'(x)=-2e^{-2x}\: \Rightarrow \: f'\left ( \frac{-1}{2} \right )=-2e


f\left ( \frac{-1}{2} \right )=e


Por tanto, la recta tangente es:

No se pudo entender (error léxico): y=-2e\left ( x+\frac{1}{2} \right )+e\: \Rightarrow \: y=-2ex-e+e\: \Rightarrow \: y=-2ex

.


Solución apartado b) Editar

La gráfica de la función f es fácil de esbozar dando unos cuantos valores. Vamos a ver el área que nos piden calcular:

08m3oBe2b


El área que buscamos es:


A=\int_{-\frac{1}{2}}^{0}\left ( e^{-2x}-\left ( -2ex \right ) \right )dx=\int_{-\frac{1}{2}}^{0}\left ( e^{-2x}+2ex \right )dx=(*)


Los calculamos por separado:


No se pudo entender (error léxico): \int e^{-2x}dx=\frac{1}{-2}\int \left ( -2 \right )e^{-2x}dx=-\frac{1}{2}\: e^{-2x}


No se pudo entender (error léxico): \int 2ex\: dx=e\int 2x\: dx=e\cdot x^{2}



No se pudo entender (error léxico): (*)=\int_{-\frac{1}{2}}^{0}e^{-2x}dx+\int_{-\frac{1}{2}}^{0}2ex\: dx=\left [ -\frac{1}{2}\: e^{-2x} \right ]_{-\frac{1}{2}}^{0}+\left [ ex^{2} \right ]_{-\frac{1}{2}}^{0}=\left ( -\frac{1}{2}+\frac{e}{2} \right )+\left ( 0-\frac{e}{4} \right )=\left (\frac{e}{4}-\frac{1}{2} \right )u^{2}

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