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Ejercicio 1 de la Opción A del Modelo 4 de 2008 Editar

[2,5 puntos] Dada la función f: \mathbb R \to \mathbb R definida por f(x)=\frac{x+1}{e^{x}}. Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión.


Solución: Editar

08m4oAe1
Primero tenemos que hallar cuál es el punto de inflexión. Éstos cumplen que f''(x)=0 y f'''(x)\neq 0.


f'(x)=\frac{1\cdot e^x-\left ( x+1 \right )\cdot e^x}{\left (e^{x}  \right )^2}=\frac{e^x-xe^x+e^x}{e^{2x}}=\frac{-xe^x}{e^{2x}}=\frac{-x}{e^x}


f''(x)=\frac{-1\cdot e^x-\left ( -x \right )\cdot e^x}{\left (e^{x}  \right )^2}=\frac{-e^x+xe^x}{e^{2x}}=\frac{(x-1)e^x}{e^{2x}}=\frac{x-1}{e^x}


No se pudo entender (error léxico): f''(x)=0\: \Rightarrow \: \frac{x-1}{e^{x}}=0\: \Rightarrow \: x-1=0\: \Rightarrow \:x=1

. Este punto es un posible punto de inflexión. Comprobemos que su tercera derivada no es nula.


No se pudo entender (error léxico): f'''(x)=\frac{1\cdot e^x-\left ( x-1 \right )\cdot e^x}{\left (e^{x} \right )^2}\: \Rightarrow \: f'''(1)=\frac{e-0}{e^2}=\frac{1}{e}\neq 0

. No es necesario que desarrollemos la tercera derivada, pues lo único que queremos es sustituir un valor.


Por lo tanto, el punto de inflexión está en x=1. Para determinar la recta tangente, necesitamos f(1) y f'(1).


No se pudo entender (error léxico): \left.\begin{matrix} f(1)=\frac{2}{e}\\ \\ f'(1)=\frac{-1}{e} \end{matrix}\right\}\Rightarrow \left [ y=f'\left ( x_{0} \right )\left ( x-x_{0} \right )+f\left ( x_{0} \right ) \right ]\: \Rightarrow \: y=\frac{-1}{e}\left ( x-1 \right )+\frac{2}{e}\: \Rightarrow \: y=\frac{3-x}{e}

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