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Ejercicio 2 de la Opción A del Modelo 4 de 2008 Editar

Sean f: \mathbb R \to \mathbb R y g: \mathbb R \to \mathbb R las funciones definidas mediante f(x)=x^3-4x y g(x)=3x-6.


a) [0,75 puntos] Determina los puntos de corte de las gráficas de f y g.


b) [1,75 puntos] Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.


Solución apartado a) Editar

08m4oAe2a

Gráficas de f y g

Para averiguar los puntos de corte, igualamos ambas ecuaciones:
No se pudo entender (error léxico): f(x)=g(x)\: \Rightarrow \: x^3-4x=3x-6\: \Rightarrow \: x^3-4x-3x+6=0\: \Rightarrow \: x^3-7x+6=0

.


Resolvemos por Ruffini:


\begin{array}{c|c c c c}  & 1 & 0 & -7 & 6 \\
1& &1&1&-6\\
\hline
&1&1&-6&|\;0\\
\end{array}


Ya tenemos una solución, x=1, y las otras las obtenemos resolviendo la ecuación de segundo grado:


No se pudo entender (error léxico): x^2+x-6=0\: \Rightarrow \: x=\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2}=\frac{-1\pm 5}{2}\: \Rightarrow \: x=2,\: x=-3


Para averiguar los puntos, sustituimos los valores de x en f o en g, con lo que obtenemos que los puntos de corte son A=(-3,-15), B=(1,-3) y C=(2,0).



Solución apartado b) Editar

08m4oAe2b

Área

Como tenemos tres puntos de corte, separaremos el área en dos zonas: de -1 a 2, y de 2 a 3. Calculamos las integrales por separado, y tomamos valor absoluto para hacerlo positivo en caso de que no lo sea.


\int_{-3}^{1}\left ( f(x)-g(x) \right )dx=\int_{-3}^{1}\left ( x^3-7x+6 \right )dx=\left [ \frac{x^4}{4}-\frac{7x^2}{2}+6x \right ]_{-3}^{1}=\left ( \frac{1}{4}-\frac{7}{2}+6 \right )-\left ( \frac{81}{4}-\frac{63}{2}-18 \right )=32


\int_{1}^{2}\left ( f(x)-g(x) \right )dx=\int_{1}^{2}\left ( x^3-7x+6 \right )dx=\left [ \frac{x^4}{4}-\frac{7x^2}{2}+6x \right ]_{1}^{2}=\left ( \frac{16}{4}-\frac{28}{2}+12 \right )-\left ( \frac{1}{4}-\frac{7}{2}+6 \right )=-\frac{3}{4}


Resumiendo,


No se pudo entender (error léxico): A=\left |\int_{-3}^{1}\left ( x^3-7x+6 \right )dx \right |+\left |\int_{1}^{2}\left ( x^3-7x+6 \right )dx \right |=32+\frac{3}{4}=\frac{131}{4}\: u^2

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