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Ejercicio 1 de la Opción B del Modelo 4 de 2008 Editar

Sea la función f: [0,4] \to \mathbb R definida por


f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2+ax+b & si & 0\leq x < 2\\ 
cx+1 & si & 2 \leq x \leq 4
\end{matrix}\right.


a) [2 puntos] Determina a, b y c sabiendo que f es continua en el intervalo cerrado [0,4], derivable en el intervalo abierto (0,4) y que f(0)=f(4)

b) [0,5 puntos] ¿En qué punto del intervalo se anula la derivada de la función?


Solución apartado a) Editar

08m4oBe1a

Gráfica de la función resuelta

* f es continua en el intervalo cerrado [0,4]:


En particular es continua en x=2, por lo que los límites laterales deben coincidir.


No se pudo entender (error léxico): \lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)\: \Rightarrow \: \lim_{x\rightarrow 2^{-}}\left ( x^2+ax+b \right )=\lim_{x\rightarrow 2^{+}}\left ( cx+1 \right )\: \Rightarrow \: 4+2a+b=2c+1\: \Rightarrow \: 2a+b-2c=-3



  • f es derivable en el intervalo abierto (0,4):


Calculemos la función derivada primero:


f'(x)=\left\{\begin{matrix}
2x+a & si & 0 < x < 2\\ 
c & si & 2 \leq x < 4
\end{matrix}\right.


Que f sea derivable en el intervalo (0,4) quiere decir que existe la derivada en x=2, es decir, que coinciden los límites laterales, luego:


No se pudo entender (error léxico): \lim_{x\to 2^{-}}f'(x)=\lim_{x\to 2^{+}}f'(x)\: \Rightarrow \: \lim_{x\to 2^{-}}\left ( 2x+a \right )=\lim_{x\to 2^{+}}\left ( c \right )\: \Rightarrow \: 4+a=c\: \Rightarrow \:a-c=-4



  • Que f(0)=f(4):
No se pudo entender (error léxico): f(0)=f(4)\: \Rightarrow \: b=4c+1 \: \Rightarrow \: b-4c=1



Con las tres ecuaciones que hemos obtenido hacemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

No se pudo entender (error léxico): \left.\begin{matrix} 2a+b-2c=-3\\ a-c=-4\\ b-4c=1 \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: \left.\begin{matrix} 2a+b-2c=-3\\ a=c-4\\ b=4c+1 \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: \left.\begin{matrix} 2(c-4)+4c+1-2c=-3\\ a=c-4\\ b=4c+1 \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: \left.\begin{matrix} c=1\\ a=-3\\ b=5 \end{matrix}\right\}



Solución apartado b) Editar

08m4oBe1b

Punto de derivada nula

Vista la derivada de la función, ésta sólo se puede anular en el primer trozo. Lo igualamos a cero y resolvemos:


No se pudo entender (error léxico): f'(x)=2x-3=0\: \Rightarrow \: x=\frac{3}{2}


f\left (\frac{3}{2}  \right )=\left ( \frac{3}{2} \right )^2-3\cdot \frac{3}{2}+5=\frac{11}{4}


Luego el punto en el que se anula la derivada es el \left (\frac{3}{2},  \frac{11}{4}\right ).

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