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Ejercicio 2 de la Opción B del Modelo 4 de 2008 Editar

[2,5 puntos] Calcula \int_{0}^{1}x\, ln\left ( x+1 \right )dx, donde ln denota la función logaritmo neperiano.


Solución: Editar

Para hallar la solución, tenemos que hacer una integral por partes: \int udv=uv- \int vdu.


\int x\, ln\left ( x+1 \right )dx=\begin{bmatrix}
u=ln\left ( x+1 \right ) & du=\frac{1}{x+1}dx\\ 
\\
dv=xdx & v=\frac{x^2}{2}
\end{bmatrix}=\frac{x^2}{2}\cdot ln\left ( x+1 \right )-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x+1}dx=\frac{x^2}{2}\cdot ln\left ( x+1 \right )-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{x+1}dx= (*)


La integral que nos queda, es racional, y primero tenemos que hacer la división:


No se pudo entender (error léxico): \begin{matrix} x^2 & & & &| \underline{x+1} \\ \underline{-x^2} &\underline{-x} & & &x-1 \\ & -x & & & \\ & \underline{+x} &\underline{+1} & & \\ & &1 & & \end{matrix}\: \: \: \: \Rightarrow \: \frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}


Por lo tanto, la integral nos queda:


\int \frac{x^2}{x+1}dx=\int \left (x-1+\frac{1}{x+1}  \right )dx=\int xdx-\int dx+\int \frac{dx}{x+1}=\frac{x^2}{2}-x+ln\left | x+1 \right |


Resumiendo,


(*)=\frac{x^2}{2}\cdot ln\left ( x+1 \right )-\frac{1}{2}\left ( \frac{x^2}{2}-x+ln\left | x+1 \right | \right )=\frac{x^2}{2}\cdot ln\left ( x+1 \right )- \frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}-\frac{ln\left | x+1 \right |}{2}


Finalmente, calculamos la integral definida:


No se pudo entender (error léxico): \int_{0}^{1}xln(x+1)dx=\left [\frac{x^2}{2}\cdot ln\left ( x+1 \right )- \frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}-\frac{ln\left | x+1 \right |}{2} \right ]_{0}^{1}=\left ( \frac{ln 2}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{ln 2}{2} \right )-0=\frac{1}{4}\: u^2

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