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Ejercicio 1 de la Opción A del Modelo 5 de 2008 Editar

Sea f:[0,2\pi]\to \mathbb R la función definida por f(x)=e^x(senx+cosx).


a) [1,25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

b) [1,25 puntos] Calcula los puntos de inflexión de la gráfica de f.


Solución apartado a) Editar

08m5oAe1a2

Gráfica de la función

Para determinar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de una función, tenemos que estudiar el signo de la primera derivada:
f'(x)=e^x(senx+cosx)+e^x(cosx-senx)=e^x(senx+cosx+cosx-senx)=2e^xcosx


Si igualamos a cero,


No se pudo entender (error léxico): f'(x)=2e^xcosx=0\: \Rightarrow \:\left\{\begin{matrix} e^x=0 & \Rightarrow & Esto \: no \: es \: posible\\ \\ cos x = 0 & \Rightarrow & x=\pi/2, \: x=3 \pi / 2 \end{matrix}\right.


Estudiemos ahora el signo de f' dando valores en los intervalos que determinan estos puntos:

No se pudo entender (error léxico): f'\left (\frac{\pi}{4} \right )=2 \: e^{\frac{\pi}{4}} \: cos\frac{\pi}{4}\approx 3,10>0


No se pudo entender (error léxico): f'(\pi)=2 \: e^{\pi} \: cos \pi \approx -46,28 < 0


No se pudo entender (error léxico): f'\left (\frac{7\pi}{4} \right )=2 \: e^{\frac{7\pi}{4}} \: cos\frac{7\pi}{4}\approx 345,28>0

08m5oAe1a1


Por lo tanto, los intervalos de Crecimiento y Decrecimiento serán:

  • Creciente:  \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right ) \cup \left ( \frac{3 \pi}{2},2 \pi \right )
  • Decreciente:  \left ( \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2} \right )


Solución apartado b) Editar

08m5oAe1b

Puntos de inflexión

Los puntos de inflexión verifican que No se pudo entender (error léxico): f''(x_{0})=0, \: f'''(x_{0})\neq 0

. Por tanto calculamos la segunda derivada de la función y la igualamos a cero:


No se pudo entender (error léxico): f''(x)=2 \: e^x \: cosx+2 \: e^x \: (-senx)=2e^x(cosx-senx)


No se pudo entender (error léxico): f''(x)=2e^x(cosx-senx)=0\: \Rightarrow \:\left\{\begin{matrix} e^x=0 & \Rightarrow & Esto \: no \: es \: posible & \\ \\ cos x - sen x= 0 & \Rightarrow & cos x = sen x & \Rightarrow \: 1 = \frac {sen x}{cos x} \: \Rightarrow \: 1=tg x \: \Rightarrow \: x=\pi/4, \: x=5 \pi / 4 \end{matrix}\right.


Estos dos puntos son posibles puntos de inflexión. Para comprobarlo, calculamos su tercera derivada:


No se pudo entender (error léxico): f'''(x)=2 \: e^x \:(cosx-senx)+2 \: e^x \: (-senx-cosx)=2 \: e^x \: (cosx-senx-senx-cosx)=-4 \: e^x \: sen x


No se pudo entender (error léxico): f'''\left ( \frac{\pi}{4} \right )=-4 \: e^{\frac{\pi}{4}} \: sen \frac{\pi}{4}\approx -6,20\neq 0


No se pudo entender (error léxico): f'''\left ( \frac{5\pi}{4} \right )=-4 \: e^{\frac{5\pi}{4}} \: sen \frac{5\pi}{4}\approx 143,55\neq 0


Por tanto los puntos de inflexión están en x=\frac{\pi}{4} y x=\frac{5 \pi}{4}.

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