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Ejercicio 2 de la Opción A del Modelo 5 de 2008 Editar

[2,5 puntos] Sean  f: \mathbb R \to \mathbb R y g: \mathbb R \to \mathbb R las funciones dadas por f(x)=x^2 y g(x)=a (con a>0).

Se sabe que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f y g es 4/3. Calcula el valor de la constante a.


Solución: Editar

Es fácil hacer un esbozo de las gráficas de estas dos funciones:

08m5oAe2a

Esbozo de las gráficas


Para poder calcular el área, necesitamos saber cuáles son los puntos de corte de las gráficas. Luego integraremos e igualamos el resultado a 4/3, que es lo que el enunciado dice que mide la superficie limitada:


  • Puntos de corte:
No se pudo entender (error léxico): f(x)=g(x) \: \Rightarrow \: x^2=a \: \Rightarrow \: x=\pm \sqrt{a}


  • Integral:

Como vemos en la gráfica de arriba, no es necesario que calculemos la integral desde - \sqrt{a} hasta \sqrt{a}, pues es simétrica respecto al eje de ordenadas y nos basta con hallar sólo la mitad:


A=\int_{- \sqrt{a}}^{\sqrt{a}}\left ( g(x)-f(x) \right )dx=2\int_{0}^{\sqrt{a}}\left ( a-x^2 \right )dx=2\cdot \left [ ax-\frac{x^3}{3} \right ]_{0}^{\sqrt{a}}=2\cdot \left ( a\sqrt{a}-\frac{\left (\sqrt{a}  \right )^3}{3} \right )=2\cdot \left ( a\sqrt{a}-\frac{a\sqrt{a}}{3} \right )=2\cdot \frac{2a\sqrt{a}}{3}=\frac{4a\sqrt{a}}{3}


No se pudo entender (error léxico): A= \frac{4a \sqrt{a}}{3}= \frac{4}{3} \: \Rightarrow \: a \sqrt{a}=1 \: \Rightarrow \: \left ( a \sqrt{a} \right )^2 = 1 \: \Rightarrow \: a^3 = 1 \: \Rightarrow \: a = 1


Solución: a=1

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