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Ejercicio 1 de la Opción B del Modelo 5 de 2008 Editar

Sea f: \mathbb R \to \mathbb R la función definida por:


f(x)=\left\{\begin{matrix}
x\left | x \right | & si & x\leq 2\\ 
6-x & si & x > 2
\end{matrix}\right.


a) [0,75 puntos] Esboza la gráfica de f.

b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f.

c) [0,75 puntos] Calcula el área comprendida entre la gráfica de f y el eje de abscisas.


Solución apartado a) Editar

Antes de dibujar la gráfica, debemos estudiar la parte con valor absoluto.

No se pudo entender (error léxico): \left | x \right |=\left\{\begin{matrix} -x & si & x \leq 0\\ x & si & x > 0 \end{matrix}\right. \: \: \: \Rightarrow \: x\left | x \right |=\left\{\begin{matrix} -x^2 & si & x\leq 0\\ x^2 & si & x > 0 \end{matrix}\right.\: \: \: \Rightarrow \:


Teniendo esto en cuenta, la función f(x) queda:


f(x)=\left\{\begin{matrix}
-x^2 & si & x\leq 0\\
x^2 & si & 0 < x \leq 2\\ 
6-x & si & x > 2
\end{matrix}\right.


Las tres partes son fáciles de representar, pues son dos parábolas y una recta, haciendo una pequeña tabla de valores:


 - x^2 x^2 6-x
xf(x)xf(x)xf(x)
-2-40024
-1-11142
0024


De este modo la gráfica queda:

08m5oBe1a



Solución apartado b) Editar

La gráfica de la función es de gran ayuda en este apartado, pues a la vista de la misma, podríamos decir que será siempre derivable salvo en x=2, donde hace un pico. Sin embargo, como esta prueba no sería válida, haremos la demostración habitual.

Una función es derivable si es continua, y su derivada existe y es continua. Los tres trozos de nuestra función son parábolas y una recta, que son siempre derivables. Por tanto sólo nos queda estudiar los puntos donde la función cambia. Calculemos la derivada, y veamos que los límites laterales coinciden:


No se pudo entender (error léxico): f(x)=\left\{\begin{matrix} -x^2 & si & x\leq 0\\ x^2 & si & 0 < x \leq 2\\ 6-x & si & x > 2 \end{matrix}\right.\: \: \Rightarrow \: f'(x)=\left\{\begin{matrix} -2x & si & x < 0\\ 2x & si & 0 < x <2\\ -1 & si & x > 2 \end{matrix}\right.


  • Derivabilidad en x=0:


No se pudo entender (error léxico): \left.\begin{matrix} \lim_{x\to 0^{-}}f'(x)=\lim_{x\to 0^{-}}\left ( -x^2 \right )=0\\ \\ \lim_{x\to 0^{+}}f'(x)=\lim_{x\to 0^{+}} x^2 =0 \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: f\: es\: derivable\: en\: x=0


  • Derivabilidad en x=2:


No se pudo entender (error léxico): \left.\begin{matrix} \lim_{x\to 2^{-}}f'(x)=\lim_{x\to 2^{-}} x^2 =4\\ \\ \lim_{x\to 2^{+}}f'(x)=\lim_{x\to 2^{+}} \left ( -1 \right ) =-1 \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: f\: no\: es\: derivable\: en\: x=2


Resumiendo, f es derivable en \mathbb R - \left \{ 2  \right \}



Solución apartado b) Editar

El área que nos piden es:


08m5oBe1c


Por tanto el área que tenemos que calcular es:


No se pudo entender (error léxico): A=\int_{0}^{6}f(x)dx=\int_{0}^{2}f(x)dx+\int_{2}^{6}f(x)dx=\int_{0}^{2}x^2dx+\int_{2}^{6}(6-x)dx=\left [ \frac{x^3}{3} \right ]_{0}^{2}+\left [ 6x-\frac{x^2}{2} \right ]_{2}^{6}=\frac{8}{3}-0+\left ( 36-18 \right )-\left ( 12-2 \right )=\frac{32}{3}\: u^2

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