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Ejercicio 2 de la Opción B del Modelo 5 de 2008 Editar

[2,5 puntos] Calcula No se pudo entender (error léxico): \int_{1}^{e}x^2\: lnx \: dx

(ln denota la función logaritmo neperiano).


SoluciónEditar

Esta integral no se puede resolver como una inmediata, por lo que utilizaremos el método de integración por partes:


No se pudo entender (error léxico): \int u \: dv = uv - \int v \: du


En nuestro caso, resolveremos primero la integral indefinida:


No se pudo entender (error léxico): \int x^2 \: lnx \:dx=\begin{Bmatrix} u=lnx & & du=\frac{1}{x} \: dx\\ & & \\ dv=x^2 \: dx & & v=\frac{x^3}{3} \end{Bmatrix}= \frac{x^3}{3}\cdot lnx-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^3}{3}\: dx=\frac{x^3}{3}\cdot lnx-\int \frac{x^2}{3}\: dx=


No se pudo entender (error léxico): =\frac{x^3}{3}\cdot lnx-\frac{1}{3}\int x^2 \: dx=\frac{x^3}{3}\cdot lnx-\frac{1}{3}\cdot \frac{x^3}{3}=\frac{x^3}{3}\cdot lnx- \frac{x^3}{9}


Finalmente,


No se pudo entender (error léxico): \int_{1}^{e} x^2 \: lnx \:dx=\left [\frac{x^3}{3}\cdot lnx- \frac{x^3}{9} \right ]_{1}^{e}=\left (\frac{e^3}{3}\cdot 1- \frac{e^3}{9} \right )-\left (\frac{1}{3}\cdot 0- \frac{1}{9} \right )=\frac{2e^3+1}{9}

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