FANDOM


Ejercicio 1 de la Opción A del Modelo 6 de 2008 Editar

Sea f: \mathbb R \to \mathbb R la función definida por f(x)=\left ( 3x-2x^2 \right )e^x.


a) [1,5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

b) [1 puntos] Calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).


Solución apartado a)Editar

08m6oAe1a2

Gráfica de la función

Sabemos que una función es creciente en el intervalo en el que su derivada sea positiva, y decreciente si su derivada es negativa. Calculemos la derivada de la función:


f'(x)=\left ( 3-4x \right )e^x+\left ( 3x-2x^2 \right )e^x=\left ( 3-4x+3x-2x^2 \right )e^x=\left ( -2x^2-x+3 \right )e^x


Si igualamos a cero,


No se pudo entender (error léxico): \left ( -2x^2-x+3 \right )e^x=0\: \Rightarrow \: \left\{\begin{matrix} -2x^2-x+3=0 & \Rightarrow (*)\\ \\ e^x=0 & \Rightarrow No \: es \: posible \end{matrix}\right.


No se pudo entender (error léxico): (*)\: \Rightarrow \: -2x^2-x+3=0\: \Rightarrow \: x=\frac{1\pm \sqrt{1+24}}{-4}=\frac{1\pm 5}{-4}\: \Rightarrow \: x=\frac{-3}{2}, \: x=1


Estudiemos el signo en los intervalos que determinan estos dos puntos:


f'(-2)=\left ( -2\cdot 4-\left ( -2 \right )+3 \right )e^{-2}\approx -0,41 < 0


f'(0)=3e^{0} =3 > 0


f'(2)=\left ( -2\cdot 4-2+3 \right )e^{2}\approx -51,72 < 0

08m6oAe1a1


Por lo tanto la función será creciente en \left ( - \frac{3}{2},1 \right ) y será decreciente en \left ( - \infty , - \frac{3}{2} \right ) \cup  \left ( 1,+ \infty \right )



Solución apartado b) Editar

Como la función es continua y derivable, por ser composición de dos funciones continuas y derivables, podemos determinar que:

  • En x= - \frac{3}{2} hay un mínimo, pues la función pasa de ser decreciente a creciente.
  • En x=1 hay un máximo, pues la función pasa de ser creciente a decreciente.


Aún así, lo comprobaremos con el signo de la segunda derivada:


No se pudo entender (error léxico): f'(x)=\left ( -2x^2-x+3 \right )e^x\: \Rightarrow \: f''(x)=\left ( -4x-1 \right )e^x+\left ( -2x^2-x+3 \right )e^x=\left ( -2x^2-5x+2 \right )e^x


  • f''\left ( -\frac{3}{2} \right )=\left ( -2\cdot \left ( \frac{-3}{2} \right )^2-5\cdot \left ( -\frac{3}{2} \right )+2 \right )e^{-\frac{3}{2}}\approx 1,12 > 0, luego hay un mínimo.


f\left ( -\frac{3}{2} \right )=\left ( 3\cdot \left ( -\frac{3}{2} \right )-2\cdot \left ( -\frac{3}{2} \right )^2 \right )e^{-\frac{3}{2}}=-9e^{-\frac{3}{2}}


Hay un mínimo en el punto \left ( -\frac{3}{2} ,-9e^{-\frac{3}{2}} \right ).


  • f''\left ( 1 \right )=\left ( -2-5+2 \right )e=-13,59 < 0, luego hay un máximo.


f(1)=(3-2)e=e


Hay un máximo en el punto \left ( 1,e \right ).

¡Interferencia de bloqueo de anuncios detectada!


Wikia es un sitio libre de uso que hace dinero de la publicidad. Contamos con una experiencia modificada para los visitantes que utilizan el bloqueo de anuncios

Wikia no es accesible si se han hecho aún más modificaciones. Si se quita el bloqueador de anuncios personalizado, la página cargará como se esperaba.