FANDOM


Ejercicio 2 de la Opción A del Modelo 6 de 2008 Editar

Considera las funciones f:(0,\pi) \to \mathbb R y g: (0, +\infty) \to \mathbb R definidas por f(x)= \frac{senx}{cos^3x} y g(x)=x^3 \cdot lnx (ln denota la función logaritmo neperiano).


a) [1,25 puntos] Halla la primitiva de f que toma el valor 1 cuando x= \frac{\pi}{3} (se puede hacer el cambio de variable t=cosx).


b) [1,25 puntos] Calcula \int g(x)dx.


Solución apartado a) Editar

Hallaremos F(x), primitiva de f(x) usando el cambio de variable que nos dice el enunciado:


No se pudo entender (error léxico): F(x) = \int f(x)dx = \int \frac{senx}{cos^3x} dx = \begin{Bmatrix} t=cosx \\ \\ dt=-senx\: dx \end{Bmatrix}= \int \frac{- \left ( -senx \: dx \right )}{cos^3x}= \int \frac{-dt}{t^3}=


-\int t^{-3}dt=-\frac{t^{-3+1}}{-3+1}+C=\frac{1}{2t^2}+C=\frac{1}{2cos^2x}+C


El enunciado dice que F\left ( \frac{\pi}{3} \right )=1, luego:


No se pudo entender (error léxico): F\left ( \frac{\pi}{3} \right )=\frac{1}{2cos^2\left ( \frac{\pi}{3} \right )}+C=\frac{1}{2\left ( \frac{1}{2} \right )^2}+C=2+C=1\: \Rightarrow \: C=-1


Resumiendo, la primitiva de f(x) es F\left ( x \right )=\frac{1}{2cos^2x}-1


Solución apartado b) Editar

La integral que nos piden no es inmediata, por lo que la resolvemos por partes:

No se pudo entender (error léxico): \int u \: dv = u v - \int v \: du


No se pudo entender (error léxico): \int x^3lnx \: dx = \begin{Bmatrix} u=lnx & & du=\frac{1}{x}dx \\ & & \\ dv=x^3 \: dx & & v=\frac{x^4}{4} \end{Bmatrix}=\frac{x^4}{4} lnx-\int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} \: dx = \frac{x^4}{4} lnx-\frac{1}{4}\int x^3 \: dx = \frac{x^4}{4} lnx-\frac{1}{4}\cdot \frac{x^4}{4} +C = \frac{x^4}{4} \: lnx- \frac{x^4}{16} +C


Solución: No se pudo entender (error léxico): \int g(x)dx= \frac{x^4}{4} \: lnx - \frac {x^4}{16} + C

¡Interferencia de bloqueo de anuncios detectada!


Wikia es un sitio libre de uso que hace dinero de la publicidad. Contamos con una experiencia modificada para los visitantes que utilizan el bloqueo de anuncios

Wikia no es accesible si se han hecho aún más modificaciones. Si se quita el bloqueador de anuncios personalizado, la página cargará como se esperaba.