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Ejercicio 1 de la Opción B del Modelo 6 de 2008 Editar

[2,5 puntos] Dada la función f definida para x \ne 0, por f(x)= \frac{e^x+1}{e^x-1} determina las asíntotas de su gráfica.



Solución: Editar

08m6oBe1

Gráfica y Asíntotas

* Asíntotas Verticales: Deben verificar que \lim_{x \to a}f(x)= \pm \infty


En nuestro caso tenemos una función racional. Es habitual que tengan Asíntotas Verticales donde se anule el denominador:

No se pudo entender (error léxico): e^x-1=0 \: \Rightarrow \: e^x=1 \: \Rightarrow \: x=0

.


Veamos si x=0 es una A.V. estudiando los límites laterales:

No se pudo entender (error léxico): \left. \begin{matrix} \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac {e^x+1} {e^x-1} = \frac {2} {0^-} = - \infty \\ \\ \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac {e^x+1} {e^x-1} = \frac {2} {0^+} = + \infty \end{matrix} \right \} \: \Rightarrow \: \exists \: A.V. \: en \: x=0


  • Asíntotas Horizontales: Se cumple que No se pudo entender (error léxico): \lim_{x \rightarrow \pm \infty } f(x) = k, \: k \in \mathbb R


No se pudo entender (error léxico): \lim_{x \rightarrow + \infty } f(x) = \lim_{x \to + \infty}\frac{e^x+1}{e^x-1}=\left [ \frac{\infty}{\infty} \: IND \right ]=(*)


Lo resolveremos por la Regla de L'Hôpital, según la cual, si f y g son dos funciones continuas y derivables, lim_{x \to \infty} \frac {f(x)}{g(x)} = lim_{x \to \infty} \frac {f'(x)}{g'(x)}. Así,


(*)=  \lim_{x \rightarrow + \infty } \frac{e^x}{e^x}=1.


Por tanto, No se pudo entender (error léxico): \exists \: A.H. \: y=1 \: en \: + \infty .


Veamos ahora el caso - \infty :


\lim_{x \rightarrow - \infty } f(x) = \lim_{x \to - \infty}\frac{e^x+1}{e^x-1}= \frac{e^{-\infty}+1}{e^{\infty}-1} = \frac {0+1}{0-1}=-1


Por tanto, No se pudo entender (error léxico): \exists \: A.H. \: y=-1 \: en \: - \infty .


  • Asíntotas Oblícuas: No existen, por existir A.H.

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