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Ejercicio 2 de la Opción B del Modelo 6 de 2008Editar

Sea g: \mathbb R \to \mathbb R la función definida por g(x)= \frac {1}{4}x^3-x^2+x.

a) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de g.

b) [0,75 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g en el punto de abscisa x=2.

c) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g y el eje de abscisas.


Solución apartado a) Editar

Es una función polinómica de grado 3. Vamos a estudiar algunas características de esta función:


  • Corte con el eje OX: Resolvemos la ecuación


No se pudo entender (error léxico): \frac {1}{4}x^3-x^2+x=0 \: \Rightarrow \: x^3-4x^2+4x=0 \: \Rightarrow \: x \left (x^2-4x+4 \right )=0 \: \Rightarrow \: \left\{\begin{matrix} x=0\\ \\ x^2-4x+4=0 \end{matrix}\right.


La ecuación de segundo grado se puede resolver por productos notables, o por la fórmula:


No se pudo entender (error léxico): x^2-4x+4=0 \: \Rightarrow \: x=\frac{4\pm \sqrt{16-16}}{2}=2


La función corta al eje OX en x=0 y x=2.


  • Corte con el eje OY: Calculamos g(0)


g(0)=0.


La función corta al eje OY en y=0.


  • Monotonía: Estudiamos el signo de la primera derivada. Será creciente si es positivo, y decreciente si es negativo.


No se pudo entender (error léxico): g(x)=\frac{1}{4}x^3-x^2+x \: \Rightarrow \: g'(x)=\frac{3}{4}x^2-2x+1


No se pudo entender (error léxico): g'(x)=\frac{3}{4}x^2-2x+1=0 \: \Rightarrow \: 3x^2-8x+4=0 \: \Rightarrow \: x=\frac{8 \pm \sqrt{64-48}}{6}=\frac{8 \pm 4}{6} \: \Rightarrow \: x=2, \: x=\frac{1}{3}


g'(0)=1 > 0
g'(1)=\frac{3}{4}-2+1=-\frac{1}{4} < 0
g'(3)=\frac{3}{4} \cdot 9-2 \cdot 3+1=\frac{7}{4} > 0

08m6oBe2a1


La función es creciente en el intervalo \left ( - \infty, \frac{2}{3} \right ) \cup \left ( 2,+ \infty \right ) y decreciente en \left ( \frac{2}{3},2 \right ) .


  • Extremos: Como es polinómica y conocemos los intervalos de crecimiento y decrecimiento, ya sabemos dónde se alcanza el máximo y el mínimo. Vamos a calcular la segunda coordenada de cada uno para poder dibujarlos:
No se pudo entender (error léxico): g\left ( \frac{2}{3} \right )= \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{27} - \frac{4}{9} + \frac{2}{3} = \frac{8}{27} \approx 0,30 \: \Rightarrow \: M \acute{a}ximo \: en \: \left ( \frac{1}{3}, \frac{8}{27} \right )


No se pudo entender (error léxico): g\left ( 2 \right )= \frac{1}{4} \cdot 8 - 4 + 2 = 0 \: \Rightarrow \: M \acute{i}nimo \: en \: \left ( 0, 2 \right )


Con estos datos ya podemos esbozar la gráfica:

08m6oBe2a2



Solución apartado b) Editar

Por el apartado anterior ya sabemos que para x=2, la función pasa por el punto (2,0) y que, como es un mínimo, la derivada también vale 0. Por lo tanto la recta tangente será:

No se pudo entender (error léxico): y=g'(x_{0})(x-x_{0})+g(x_{0}) \: \Rightarrow \: y=0 \cdot (x-2) + 0 \: \Rightarrow \: y = 0



Solución apartado c) Editar

El área que nos piden está entre x=0 y x=2:

08m6oBe2c


No se pudo entender (error léxico): A=\int_{0}^{2}g(x)dx=\int_{0}^{2}\left ( \frac{1}{4}x^3-x^2+x \right )dx=\left [ \frac{1}{4}\cdot \frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2} \right ]_{0}^{2}=1-\frac{8}{3}+2=\frac{1}{3} \: u^2

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