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Ejercicio 1 de la Opción A del Modelo 1 de 2009

[2,5 puntos] Sea  f: \mathbb R \to \mathbb R la función definida por  f(x)= ax^3+bx^2+cx+d . Calcula los valores de a, b, c y d sabiendo que f verifica:


  • El punto (0,1) es un punto de inflexión de la gráfica de f.
  • f tiene un mínimo local en el punto de abscisa  x = 1 .
  • La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa  x=2 tiene pendiente 1.

Solución

Cada uno de los datos nos va a dar ecuaciones para averiguar los valores de a, b, c y d. Antes de estudiar los datos, vamos a calcular f'(x) y f''(x):

f'(x)=3ax^2+2bx+c
f''(x)=6ax+2b


  • El punto (0,1) es un punto de inflexión de la gráfica de f. De aquí obtenemos dos ecuaciones:
  • (0,1) es un punto de la gráfica de f, luego
No se pudo entender (error léxico): f(0)=1\: \Rightarrow \: d=1


  • Hay un punto de inflexión en (0,1), luego
No se pudo entender (error léxico): f''(0)=0\: \Rightarrow \: 2b=0\: \Rightarrow \: b=0


  • f tiene un mínimo local en el punto de abscisa x=1. Luego,
No se pudo entender (error léxico): f'(1)=0\: \Rightarrow \: 3a+2b+c = 0


  • La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=2 tiene pendiente 1. Esto quiere decir que,
No se pudo entender (error léxico): f'(2)=1\: \Rightarrow \: 12a+4b+c=1



Nos ha quedado el siguiente sistema de ecuaciones:

No se pudo entender (error léxico): \left.\begin{matrix} d=1\\ b=0\\ 3a+2b+c=0\\ 12a+4b+c=1 \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: \left.\begin{matrix} 3a+c=0\\ 12a+c=1 \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \:M\acute{e}t.Reducci\acute{o}n\: \Rightarrow \: \left.\begin{matrix} 3a+c=0\\ 9a=1 \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow


No se pudo entender (error léxico): \Rightarrow \: \left.\begin{matrix} 3a+c=0\\ a=\frac{1}{9} \end{matrix}\right\}\: \Rightarrow \: \left.\begin{matrix} c=\frac{-1}{3}\\ a=\frac{1}{9} \end{matrix}\right\}


Solución \begin{matrix}
a=\frac{1}{9} & b=0 & c=\frac{-1}{3} & d=1
\end{matrix}

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