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Ejercicio 1 de la Opción A del Modelo 3 de 2009 Editar

[2,5 puntos] Calcula el siguiente límite (ln denota logaritmo neperiano).


\lim_{x\to 1}\left ( \frac{1}{ln x}-\frac{2}{x^{2}-1} \right )



Solución: Editar

Veremos que al resolver el límite nos aparece una indeterminación de tipo \infty -\infty .


\lim_{x\to 1}\left ( \frac{1}{\ln x}-\frac{2}{x^{2}-1} \right )=\left [ \infty -\infty\; IND  \right ]=\lim_{x\to 1}\left ( \frac{x^{2}-1-2\ln x}{\left ( x^{2}-1 \right )\cdot \ln x}\right)=\left [ \frac{0}{0}\; IND \right ]=(*)


Para resolverla necesitamos usar la Regla de L'Hôpital. Puedo usarla ya que tanto el numerador como el denominador son funciones continuas y derivables en x=1. Esta regla me dice que puedo calcular el límite derivando por separado numerador y denominador:


f(x)=x^{2}-1-2\ln x\; \Rightarrow \; f'(x)=2x-0-2\cdot \frac{1}{x}=2x-\frac{2}{x}
g(x)=\left ( x^{2}-1 \right )\cdot \ln x\; \Rightarrow \; g'(x)=2x\cdot \ln x+\left ( x^{2}-1 \right )\cdot \frac{1}{x}


Por lo tanto,


(*)=\lim_{x\to 1}\frac{2x-\frac{2}{x}}{2x\cdot \ln x+\left ( x^{2}-1 \right )\cdot \frac{1}{x}}=\left [ \frac{0}{0}\; IND \right ]=(**)


Volvemos a aplicar L'Hôpital. Si derivamos otra vez numerador y denominador obtenemos:


f'(x)=2x-\frac{2}{x}\; \Rightarrow \;f''(x)=2+\frac{2}{x^{2}}
g'(x)=2x\cdot \ln x+\frac{x^{2}-1}{x} \; \Rightarrow \; g''(x)=\frac{2x}{x}+2\ln x+\frac{2x^{2}-x^{2}+1}{x^{2}}=2+2\ln x+\frac{x^{2}+1}{x^{2}}


Por tanto,


(**)=\lim_{x\to 1}\frac{2+\frac{2}{x^{2}}}{2+2\ln x+\frac{x^{2}+1}{x^{2}}}=\frac{2+2}{2+0+2}=1


SOLUCIÓN: El límite vale 1

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