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Ejercicio 2 de la Opción A del Modelo 1 de 2009 Editar

Sea f:\mathbb R\to \mathbb R la función definida por f(x)=x\left | x-1 \right |.

a) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de f.

b) [0,75 puntos] Comprueba que la recta de ecuación y=x es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=0.

c) [1,25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la de dicha tangente.



Solución apartado a)Editar

a) Esboza la gráfica de f.

Primero escribiremos f como una función a trozos. El punto donde la función cambia, es donde el valor absoluto se haga nulo, en este caso \left | x-1 \right |=0\; \to \; x=1.


f(x)=\left\{\begin{matrix}x\cdot (-x+1) & si & x\leq 1\\ x\cdot (x-1)) & si & x>1\end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix}-x^{2}+x & si & x\leq 1\\ x^{2}-x & si & x>1\end{matrix}\right.



Si x\leq 1, tenemos una parábola abierta hacia abajo cuyo vértice es el punto V=\left ( \frac{-b}{2a},f\left ( \frac{-b}{2a} \right ) \right )=\left ( \frac{1}{2},\frac{1}{4} \right ). Si hacemos una tabla de valores, tendremos:


xf(x)
\frac{1}{2}\frac{1}{4}
10
00
-1-2



Si x>1, tenemos una parábola abierta hacia arriba cuyo vértice es el punto V=\left ( \frac{-b}{2a},f\left ( \frac{-b}{2a} \right ) \right )=\left ( \frac{1}{2},-\frac{1}{4} \right ). Si hacemos una tabla de valores, tendremos:


xf(x)
\frac{1}{2}-\frac{1}{4}
10
22
36


Si llevamos estos datos a los ejes de coordenadas, la gráfica de la función será:





09m1oAe2

Solución

Solución apartado b) Editar

b) Comprueba que la recta de ecuación y=x es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=0

La recta tangente a una función en un punto x=a viene dada por la ecuación y=f'(a)(x-a)+f(a). En nuestro caso tenemos que calcular:

\left.\begin{matrix}f(0)=0\\ f'(x)=-2x+1\to f'(0)=1\end{matrix}\right\}\Rightarrow y=f'(0)(x-0)+f(0)\Rightarrow y=x

Con lo que demostramos que efectivamente, ésa es la recta tangente.



Solución apartado c) Editar

c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la de dicha tangente

El área que tenemos que calcular es la siguiente:





09m1oAe2c

Área a calcular

Superficie azul: Es el área que hay entre la recta y la primera parte de la función, entre x=0 y x=1, luego:


A_{1}=\int_{0}^{1}\left ( x-\left ( -x^{2}+x \right ) \right )dx=\int_{0}^{1}x^{2}dx=\left. \frac{x^{3}}{3} \right ]_{0}^{1}=\frac{1}{3}u^{2}


Superficie roja: Es el área que hay entre la recta y la segunda parte de la función, entre x=1 y el punto de corte de ambas funciones. Primero calculamos ese punto:


x=x^{2}-x\; \Rightarrow \; x^{2}-2x=0\; \Rightarrow x(x-2)=0\; \Rightarrow x=0\; \acute{o}\; x=2


El que nos interesa es x=2, luego:


A_{2}=\int_{1}^{2}\left ( x-\left ( x^{2}-x \right ) \right )dx=\int_{1}^{2}\left (-x^{2}+2x  \right )dx=\left. -\frac{x^{3}}{3}+x^{2} \right ]_{1}^{2}=\left (- \frac{8}{3}+4 \right )-\left ( -\frac{1}{3}+1 \right )=\frac{2}{3}u^{2}


Finalmente,


A=A_{1}+A_{2}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1\; u^{2}


SOLUCIÓN: El área mide 1\;u^{2}

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