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Ejercicio 1 de la Opción B del Modelo 1 de 2009 Editar

Sea f:\mathbb R \to \mathbb R la función definida por,


f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x-1} & si & x < 0\\ x^{2}-3x-1 & si & x\geq 0\end{matrix}\right.

a) [0,75 puntos] Estudia su continuidad y derivabilidad.

b) [1,25 puntos] Determina sus asíntotas y sus extremos relativos.

c) [0,5 puntos] Esboza la gráfica de f.

Solución apartado a) Editar

  • Primer trozo: \frac{1}{x-1}

es una función continua salvo donde se anule el denominador. En este caso, x-1=0\Leftrightarrow x=1, pero x=1 está fuera del primer trozo, por lo tanto siempre es continua.


  • Segundo trozo: x^{2}-3x-1

es un polinomio, por lo que siempre es continuo.


  • Punto intermedio: x=0

Sólo nos queda comprobar que la función es continua donde cambiamos de trozo, en x=0. Para ello estudiamos los límites laterales y vemos si coinciden con el valor de la función en el punto:

\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x-1}=-1


\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\left ( x^{2}-3x-1 \right )=-1


f(0)=-1

Por lo tanto la función es continua en todo  \mathbb R

Veamos ahora la derivabilidad. Ambos trozos son continuos y derivables en su dominio, luego podemos hallar la función derivada:


f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{-1}{(x-1)^{2}} & si & x < 0\\ 2x-3 & si & x > 0\end{matrix}\right.

Nos queda comprobar si en  x=0 la derivada es continua:

\lim_{x\to 0^{-}}f'(x)=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{-1}{\left ( x-1 \right )^{2}}=-1
\lim_{x\to 0^{+}}f'(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\left ( 2x-3 \right )=-3

Como no coinciden, no es derivable en  x=0 . Por lo tanto f(x) es derivable en  \mathbb R - \left\{0\right\}

Solución apartado b) Editar

  • Asíntotas verticales:
    • Las funciones racionales pueden tener asíntotas verticales donde se anule su denominador, pero como hemos visto en el apartado anterior, eso ocurría fuera de su trozo.
    • Las funciones polinómicas no tienen asíntotas verticales.

Por lo tanto no existen Asíntotas Verticales


  • Asíntotas horizontales:
    • \lim_{x\to -\infty }f(x)=\lim_{x\to -\infty }\frac{1}{x-1}=0. Por lo tanto existe una Asíntota Horizontal  y = 0 en  - \infty .
    • \lim_{x\to +\infty }f(x)=\lim_{x\to +\infty }\left ( x^{2}-3x-1 \right )=+\infty .

De hecho no era necesario calcular este límite, pues la función es una parábola, que como ya sabemos no tiene asíntotas de ningún tipo.

Extremos relativos.

  • Puntos donde se anula la derivada:

En el primer trozo no se anula nunca, pues


\frac{-1}{\left ( x-1 \right )^{2}}=0\Rightarrow -1=0\; !!!

En el segundo trozo se anula en:


2x-3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}

que sí pertenece al trozo en el que nos encontramos. Si calculamos la segunda derivada, obtenemos que f''(x)=2\Rightarrow f''(3/2)=2 > 0, luego en x=3/2 tenemos un mínimo relativo. Esto no era necesario calcularlo, pues ya sabemos que este trozo de función es una parábola abierta hacia arriba, y por lo tanto tiene un mínimo en su vértice.

Si calculamos su imagen,


f\left ( \frac{3}{2} \right )=\left ( \frac{3}{2} \right )^{2}-3\cdot \frac{3}{2}-1=-\frac{13}{4}. Por tanto tenemos un mínimo relativo en el punto A=\left ( \frac{3}{2},-\frac{13}{4} \right )


  • Puntos donde cambia la función:  x = 0

Como veremos al esbozar la gráfica, en este punto no existe ningún extremo relativo.

Solución apartado c) Editar

  • Primer trozo:

- Es continua y derivable.

- Tenemos una A.V. en  y = 0 en  -\infty .

- Es decreciente, puesto que su derivada siempre es negativa.

- Con una pequeña tabla de valores obtenemos:


xf(x)
-9-0,1
-4-0,2
-1-0,5
0-1


  • Segundo trozo:

- Es continua y derivable.

- Es una parábola abierta hacia arriba y con vértice en  x = 3/2 = 1,5.

- Tabla de valores:


xf(x)
0-1
1-3
1,5-3,25
2-3
43

Con estos datos obtenemos la gráfica:

09m1oBe1c

Gráfica de la función a trozos

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