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Ejercicio 2 de la Opción B del Modelo 1 de 2009 Editar

Considera la curva de ecuación y=x^{3}-3x.

a) [0,5 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa  x = -1

b) [2 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la curva dada y la recta  y = 2

Solución apartado a) Editar

La ecuación de la recta tangente a una curva era y=f'(a)\cdot (x-a)+f(a) y en nuestro caso, a = -1

f(-1)=(-1)^{3}-3\cdot (-1)=2
f'(x)=3x^{2}-3\Rightarrow f'(-1)=3\cdot (-1)^{2}-3=0

Por lo tanto la ecuación de la recta tangente será y = 0 \cdot (x+1) + 2\Rightarrow y=2

Solución: y = 2



Solución apartado b) Editar

09m1oBe2b

No usaremos la representación para resolver el problema

Para hallar el área que nos piden, primero tenemos que saber entre qué límites debemos integrar. Para ello, hallamos los puntos en los que se cortan ambas curvas igualando sus ecuaciones:


x^{3}-3x=2\Rightarrow x^{3}-3x-2=0

Es un polinomio de tercer grado que resolveremos mediante el método de Ruffini


\begin{array}{c|c c c c}  & 1 & 0 & -3 & -2 \\
-1& &-1&1&2\\
\hline
&1&-1&-2&|\;0\\
\end{array}

Con esto obtenemos una solución,  x = -1 y nos queda el polinomio x^{2}-x-2=0. Lo resolvemos:

x^{2}-x-2=0\Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{1\pm 3}{2}\Rightarrow x=-1,\; x=2

Tenemos un punto que se repite, y por tanto el área está entre los puntos x=-1 y x=2, luego:

A=\int_{-1}^{2}\left ( f(x)-g(x) \right )=\int_{-1}^{2}\left ( x^{3}-3x-2 \right )=\left .\frac{x^{4}}{4}-3\cdot \frac{x^{2}}{2}-2x \right ]_{-1}^{2}=\left ( \frac{2^4}{4}-3\cdot \frac{2^2}{2}-2\cdot 2 \right )-\left ( \frac{1^{4}}{4}-3\cdot \frac{1^{2}}{2}-2\cdot (-1) \right )=-6-\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}

Como hemos de tomar valor absoluto para que el área sea positiva, nos queda A = \frac{27}{4}\;u^{2}

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